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《你知道吗--现代科学中的100个问题》6、什么是虚数?

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  大多数人最为熟悉的数有两种,即正数(+5,+17.5)和负数(-5,-17.5)。负数是在中世纪出现的,它用来处理3-5这类问题。从古代人看来,要从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是,中世纪的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹果,可是我只有三个苹果的钱,这样我还欠你两个苹果的钱。”这就等于说:(+3)-(+5)=(-2)。
  正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘正数,其乘积为正。正数乘负数,其乘积为负。最重要的是,负数乘负数,其乘积为正。
  因此,(+1)×(+1)=(+1);(+1)×(-1)=(-1);(-1)×(-1)=(+1)。
  现在假定我们自问:什么数自乘将会得出+1?或者用数学语言来说,+1的平方根是多少?
  这一问题有两个答案。一个答案是+1,因为(+1)×(+1)=(+1);另一个答案则是-1,因为(-1)×(-1)=(+1)。数学家是用√ ̄(+1)=±1来表示这一答案的。(碧声注:(+1)在根号下)
  现在让我们进一步提出这样一个问题:-1的平方根是多少?
  对于这个问题,我们感到有点为难。答案不是+1,因为+1的自乘是+1;答案也不是-1,因为-1的自乘同样是+1。当然,(+1)×(-1)=(-1),但这是两个不同的数的相乘,而不是一个数的自乘。
  这样,我们可以创造出一个数,并给它一个专门的符号,譬如说#1,而且给它以如下的定义:#1是自乘时会得出-1的数,即(#1)×(#1)=(-1)。当这种想法刚提出来时,数学家都把这种数称为“虚数”,这只是因为这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上,这种数一点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有一些严格限定的属性,而且和一般实数一样,也很容易处理。
  但是,正因为数学家感到这种数多少有点虚幻,所以给这种数一个专门的符号“i”(imaginary)。我们可以把正虚数写为(+i),把负虚数写为(-i),而把+1看作是一个正实数,把(-1)看作是一个负实数。因此我们可以说√ ̄(-1)=±i。
  实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有+5,-17.32,+3/10等实数一样,我们也可以有+5i,-17.32i,+3i/10等虚数。
  我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。
  假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数系统,那么,位于0点某一侧的是正实数,位于0点另一侧的就是负实数。
  这样,当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线时,你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上0点的一侧的数是正虚数,0点另一侧的数是负虚数。这样一来,同时使用这两种数系,就可以在这个平面上把所有的数都表示出来。例如(+2)+(+3i)或(+3)+(-2i)。这些数就是“复数”。
  数学家和物理学家发现,把一个平面上的所有各点同数字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数,他们就无法做到这一点了。